Сфероид Маклорена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сферо́ид Макло́рена — сплюснутый сфероид, возникающий в случае вращения самогравитирующего жидкого тела с однородным распределением плотности с постоянной угловой скоростью. Сфероид назван в честь шотландского математика Колина Маклорена, предположившего такую форму Земли в 1742 году[1]. На самом деле Земля существенно менее сплюснута, поскольку не является однородной и обладает плотным железным ядром. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью эллипсоидальной фигуры вращения в состоянии равновесия, поскольку обладает постоянной плотностью.

Формула Маклорена

[править | править код]
Квадрат угловой скорости (в единицах ) для сфероида Маклорена

Для сплюснутого сфероида с большой полуосью и малой полуосью угловая скорость задаётся формулой Маклорена

где является эксцентриситетом меридионального сечения сфероида,  — плотность,  — гравитационная постоянная. Формула предсказывает два возможных типа фигуры равновесия при , одной из них является сфера (), другой является плоский сфероид ().

Максимальная угловая скорость возникает при эксцентриситете , значение квадрата максимальной угловой скорости равно , то есть выше этой скорости фигуры равновесия не существует. Это противоречит наблюдательным данным. Причиной противоречия может быть наличие двух нереалистичных предположений: одно состоит в однородности распределения плотности, другое — в том, что форма поверхности представляет собой простую квадрику.

Момент импульса сфероида Маклорена задаётся выражением

где  — масса сфероида,  — средний радиус, то есть радиус сферы такого же объёма, что и сфероид. В более простом выражении[3]

Кинетическая энергия сфероида[3]

Устойчивость

[править | править код]

Для сфероида Маклорена с эксцентриситетом более 0,812670[3] трёхосный эллипсоид Якоби[англ.] с тем же моментом импульса обладает меньшей полной энергией. Если такой эллипсоид состоит из вязкой жидкости и не испытывает возмущений, способных нарушить симметрию вращения, то он вытянется и примет форму эллипсоида Якоби, при этом часть энергии перейдёт в тепловую форму. Для аналогичного сфероида из невязкой жидкости возмущения приведут к незатухающим колебаниям.

Сфероид Маклорена с эксцентриситетом более 0,952887[3] динамически неустойчив. Даже если объект состоит из невязкой жидкости и не теряет энергию, малые возмущения будут расти по экспоненциальному закону. Динамическая неустойчивость подразумевает вековую неустойчивость[4].

Примечания

[править | править код]
  1. Maclaurin C. A Treatise of Fluxions: In Two Books. 1. Vol. 1. Ruddimans, 1742.
  2. Chandrasekhar S. Ellipsoidal figures of equilibrium. Vol. 10. New Haven: Yale University Press, 1969.
  3. 1 2 3 4 Poisson E., Will C. Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic (англ.). — Cambridge University Press, 2014. — P. 102—104. — ISBN 1139952390. Архивировано 23 октября 2017 года.
  4. Lyttleton R. A.[англ.]. The Stability Of Rotating Liquid Masses. — Cambridge University Press, 1953. — ISBN 9781316529911.