Константа Коморника — Лорети

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математической теории нестандартных позиционных систем[англ.] счисления константа Коморника — Лорети — это математическая константа, представляющая наименьшее основание q, для которого число 1 имеет уникальное представление, называемое его q-разверткой. Константа названа в честь Вилмоса Коморника и Паолы Лорети, которые дали ей определение в 1998 году.[1]

Определение

[править | править код]

Для действительного числа ряд

называется q-расширением или -расширение, положительного действительного числа x, если для всех , , где  — целая функция, а не обязательно должно быть целым числом. Любое действительное число такое, что имеет такое расширение, которое можно найти с помощью жадного алгоритма.

Особый случай: , и или иногда называют q-разработкой. дает только 2-развертку. Однако почти для всех существует бесконечное количество различных q-разработок. Ещё более удивительно то, что существуют исключительные , для которых существует только одна q-разработка. Кроме того, существует наименьшее число , известное как константа Коморника — Лорети, для которого существует уникальная q-развертка.[2]

Константа Коморника — Лорети — это значение q, такое что

где  — последовательность Морса — Туэ, то есть  — четность числа единиц в двоичном представлении . Имеет приблизительное значение

[3]

Константа также является единственным положительным вещественным корнем

Эта константа трансцендентна.[4]

Примечания

[править | править код]
  1. Vilmos Komornik, Paola Loreti. Unique Developments in Non-Integer Bases (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 1998-08-XX. — Vol. 105, iss. 7. — P. 636–639. — ISSN 1930-0972 0002-9890, 1930-0972. — doi:10.1080/00029890.1998.12004937.
  2. Eric W. Weisstein. q-Expansion (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 14 мая 2021. Архивировано 14 мая 2021 года.
  3. Eric W. Weisstein. Komornik-Loreti Constant (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 14 мая 2021. Архивировано 14 мая 2021 года.
  4. Jean-Paul Allouche, Michel Cosnard. The Komornik-Loreti Constant Is Transcendental // The American Mathematical Monthly. — 2000-05. — Т. 107, вып. 5. — С. 448. — ISSN 0002-9890. — doi:10.2307/2695302.