Постоянная Гаусса (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Постоя́нная Га́усса (обозначение — G) — математическая константа, которая определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от единицы и квадратного корня из 2:

(последовательность A014549 в OEIS)

Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799[1] году обнаружил, что

чтобы

где Β обозначает бета-функцию.

Связь с другими константами

[править | править код]

Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе :

В качестве альтернативы,

а поскольку и алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.

Константы лемнискаты

[править | править код]

Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.

Гаусс и другие используют[2][3] эквивалент

которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций.

Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа и называются константами лемнискаты, первая из которых

и вторая константа:

Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты. и Теодор Шнайдер доказал их трансцендентность в 1937 и 1941 годах соответственно.[4]

Другие формулы

[править | править код]

Формула, выражающая G через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом:

Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:

Константу также можно выразить бесконечным произведением

Эта константа появляется при оценке интегралов

Представление константы в виде непрерывной дроби:

(последовательность A053002 в OEIS)

Примечания

[править | править код]
  1. Nielsen, Mikkel Slot. Undergraduate convexity : problems and solutions. — July 2016. — P. 162. — ISBN 9789813146211.
  2. Kobayashi, Hiroyuki; Takeuchi, Shingo (2019), Applications of generalized trigonometric functions with two parameters, arXiv:1903.07407
  3. Asai, Tetsuya (2007), Elliptic Gauss Sums and Hecke L-values at s=1, arXiv:0707.3711
  4. Todd, John The lemniscate constants. ACM DL (1975). Дата обращения: 19 июля 2021. Архивировано 19 июля 2021 года.